Discussion:Fonction multivaluée

drôle d'exemple

"calculer l'intégrale suivante par le biais des résidus" : ce qui est curieux c'est qu'on utilise pas du tout les résidus pour le calcul ! Claudeh5 (d) 29 juin 2009 à 12:19 (CEST)

Bonjour, j'avoue que l'expression est un peu abusive (voire douteuse) mais on utilise bien les résidus (et le théorème des résidus) dans le développement, j'avais pas de nom plus clair pour dire : "calculer cette intégrale sans utiliser la primitive et en utilisant (a) deux déterminations différentes, (b) le théorème des résidus, (c) le contour ci-contre, (d) un brin de jugeote". Si t'as une meilleure façons de dire cela, je t'en prie ! Néanmoins peut être que ce qui t'ennuie est que j'ai mis "Solution" en parlant de primitive... on peut remplacer cela par "Solution directe" si tu trouves cela plus clair ? Bien cordialement, Thibaut Liénart (d) 29 juin 2009 à 12:25 (CEST)

Points de branchement

L'affirmation suivante est inexacte :

$f(z)={1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}$ a trois pôles simples.

En fait, toute détermination holomorphe de cette "fonction multiforme" n'a qu'un seul point singulier (isolé) au sens usuel (c'est-à-dire un point a pour lequel il existe un disque ouvert D de centre a, tel que la fonction soit holomorphe sur D - {a} et ne se prolonge pas en une fonction holomorphe sur D): ce point singulier est 0, et c'est effectivement un pôle simple.

Pour ce qui est de 1 et -1, ce ne sont pas des points singuliers au sens précédent (ce ne sont donc pas des pôles, ni d'ailleurs des points singuliers essentiels); par exemple, il n'existe aucun disque ouvert D centré en 1 tel que f soit holomorphe sur D- {1}, et ce quelle que soit la manière de définir f.

Il ne s'agit pas d'une simple question de terminologie. En particulier : la notion de développement en série de Laurent de f autour de 1 (ou de -1) n'a aucun sens, et on serait bien en peine de calculer un résidu de f en chacun de ces deux points, qui sont en fait des points de branchement. Vivarés (d) 30 juin 2009 à 00:36 (CEST)

Je ne comprends pas : d'une part j'ai corrigé la veille le commentaire inexacte de l'image et d'autre part je ne connais pas de "point singulier au sens usuel". Ta définition du point singulier est absolument fausse (mais j'admets que l'on trouve de curieuses définitions dans les livres, notamment anglais. En fait ils se limitent aux fonctions uniformes de la variable complexe, ce qui arrange effectivement bien les choses !): le contre-exemple (que j'ai mis) est dans l'article point de branchement: $g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{2}}{n^{2}}}.$Tu verifieras facilement que R=1/\lim sup {1/n^2}^{1/n} =1. Or aucun point singulier à ton sens n'existe sur le cercle de convergence ! . Deuxième remarque: les points 1 et -1 de f(s) étant des points de branchement, on pratique habituellement une coupure dans ce cas en reliant les points de branchements -1 et 1 entre eux en passant par 0, ce qui fait que la fonction f n'est plus définie sur un disque (même épointé en 0) contenant 0 en son intérieur, ce qui entraine que 0 n'est alors plus un pôle simple. Voici à titre de curiosité le developpement en série de Puiseux de f(s) au voisinage de 1:

$1/2\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {s-1}}}-5/8\,{\sqrt {2}}{\sqrt {s-1}}+{\frac {43}{64}}\,{\sqrt {2}}\left(s-1\right)^{3/2}-{\frac {177}{256}}\,{\sqrt {2}}\left(s-1\right)^{5/2}+{\frac {2867}{4096}}\,{\sqrt {2}}\left(s-1\right)^{7/2}-{\frac {11531}{16384}}\,{\sqrt {2}}\left(s-1\right)^{9/2}+O\left(\left(s-1\right)^{11/2}\right)$

Je ne sais si les ouvrages suivants seront considérés comme des références admissibles :

• Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes d'Henri Cartan (Hermann).
• Calcul infinitésimal de Jean Dieudonné (Hermann)
• Les fonctions analytiques de Michel Hervé (PUF)
• Analyse complexe de Pierre Dolbeault (Masson) (je pourrais allonger la liste)

Ils donnent tous la définition "usuelle" (que tu qualifies d'absolument fausse) que j'ai rappelée plus haut de la notion de point singulier isolé (le mot "isolé", dans ces ouvrages, est le plus souvent omis : le chapitre III de l'ouvrage de Cartan s'intitule Développements de Taylor et de Laurent. Points singuliers et résidus). Parler ici de trois pôles est de toute façon une erreur (bien entendu, le statut de 0 dépend de la détermination choisie). Vivarés (d) 30 juin 2009 à 16:45 (CEST)

Cette définition (celle que tu as donnée précédemment) est fausse, c'est absolument évident sur l'exemple que j'ai donné (fonction g) précédemment également. Pour la clarté des choses je recopie ici le détail de l'exemple: Le rayon de convergence d'une fonction analytique complexe est limité par une ou plusieurs singularités sur son cercle de convergence. Les points de branchement en font partie.

Exemple: soit $f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$. Cette fonction reste bornée partout sur son cercle de convergence |z|=1. Elle ne peut donc pas y admettre un pôle (elle tendrait vers l'infini), ou un point singulier essentiel (pour tout nombre strictement supérieur à $\pi ^{2}/6$, il existerait une suite de points où la somme tendrait vers ce nombre, les points restant de module inférieur à 1, ce qui est impossible (voir th. de Weierstrass)). La seule solution est qu'elle y admet un point de branchement. Et effectivement, elle admet le point z=1 comme point de branchement (logarithmique) et comme unique singularité à distance finie. Maintenant, habituellement, les auteurs se contentent de traiter de la théorie des fonctions analytiques uniformes d'une variable complexe, auquel cas ce cas n'apparaît pas.

Mon contradicteur ne me répond absolument pas quant à mes références (Cartan, etc.), se bornant à dire que les auteurs en question ne parlent que de fonctions uniformes. J'ajouterai une citation de Dieudonné, à propos des fonctions multiformes (Calcul infinitésimal, p. 254): Cette situation peut paraître choquante [Dieudonné parle là, pour aller vite, de l'impossibilité de définir une fonction g holomorphe sur C tout entier telle qu'en tout point w, g(w)^2 = w]; mais ce n'est pas y remédier (...) que de dire que l'on peut définir une prétendue « fonction multiforme » inverse de la fonction z -> z^2 [et Dieudonné parle là de « prétendues définitions inutilisables »]. Il y a une solution aux paradoxes des « fonctions multiformes », la profonde et puissante théorie des surfaces de Riemann [fin de citation]. J'ai vu que ce dialogue de sourds a déjà eu lieu sur d'autres pages de discussion (entre d'autres contributeurs). Je m'en tiendrai donc là. Vivarés (d) 30 juin 2009 à 20:37 (CEST)

Comment ça, je n'ai pas répondu quant à ses références? La réponse est exactement en dessous et est datée du même jour à 18h23. Deux heures après, je n'ai pas répondu quant à ses références ? Je ne dispose pas des livres de Hervé ni de Dolbeau donc je ne peux répondre. Mais concernant Cartan et Dieudonné, ils ne disent pas exactement ce que mon contradicteur prétend et j'ai cité exactement le passage sans en rien retrancher. Quant à la théorie des surfaces de Riemann, c'est très bien du point de vue théorique, et je suis entièrement d'accord avec Dieudonné là-dessus. Mon souci vient ensuite quand il s'agit de faire le calcul d'un intégrale complexe ayant un ou plusieurs points de branchements: Avec la théorie des surfaces de Riemann, veuillez donc calculer l'intégrale.Claudeh5 (d) 2 juillet 2009 à 20:48 (CEST)

http://books.google.fr/books?id=4XW0UVFL4SwC&q=dienes+vivanti+singular&dq=dienes+vivanti+singular

À propos de l'article sur les points de branchement

Je constate que la définition initiale considère les points de branchement comme des cas particuliers de points singuliers isolés. Cela est contraire à la terminologie qu'on trouve dans tous les ouvrages classiques (voir ci-dessus) et est une source de confusion importante. Vivarés (d) 30 juin 2009 à 17:39 (CEST)

Je viens de regarder ce que dit exactement Cartan. Cartan dit exactement p89 (6e édition, 1985): "Soit f(z) une fonction holomorphe dans le disque pointé 0<|z| < rho. On dit que l'origine 0 est un point singulier isolé de f si la fonction ne peut pas se prolonger en une fonction holomorphe dans le disque tout entier |z| <= rho." suit la condition nécessaire et suffisante que les coefficients du développement de Laurent ne soient pas tous nuls et la distinction des deux cas, nombre fini de termes d'ordres négatifs (pôle) et nombre infini (point singulier essentiel). Mais dans cette définition il y a une hypothèse: la fonction est holomorphe dans le disque épointé, ce qui n'est pas le cas pour un point de branchement ! Donc Cartan ne contredit pas ce que j'ai écrit.Claudeh5 (d) 30 juin 2009 à 18:23 (CEST)

Concernant Dieudonné, celui-ci considère que les points de branchement sont des points réguliers, ce qui est évidemment contraire à la tradition: Dienes, the Taylor series, p226 "§57 test for singular points on the circle of convergence. Non continued Taylor series.

[...] I. If, after a certain suffix, a_n is real and >= 0, then z=R is a singular point of sum(a_nz^n), R being the radius of convergence of the latter series. (Vivanti, 1893)

II. If, after a certain suffix, the argument of a_n is between -alpha and alpha<Pi/2, z=R is a singular point of sum(a_nz^n). (Dienes 1909c)" (1909c =thèse "essai sur les singularités des fonctions analytiques", Paris. Journal de mathématiques pures et appliquées, 6e série, tome 5, p327-413) remarque: pour la fonction g que j'ai donnée, on est dans le cas d'application du théorème de Vivanti.Claudeh5 (d) 30 juin 2009 à 18:57 (CEST) PS: En fait, Dieudonné dit exactement p255 ceci (à propos de l'inversion de f:z -> z^2 (donc la racine carrée complexe):

"[...]Le point z=0 est un point singulier pour la fonction h, tous les autres points du cercle |z-a|=r étant réguliers; mais en dépit des apparences, z=0 n'est pas un point singulier isolé au sens défini dans (2.1); c'est une nouvelle espèce de point singulier qu'on appelle parfois point de ramification ou point de branchement." Donc Dieudonné définit lui aussi les points de branchement comme étant des points singuliers ! Claudeh5 (d) 30 juin 2009 à 19:08 (CEST)

Ok, donc en gros dans l'article tel que c'est mis maintenant c'est bon non ?! (la fonction ${1 \over z{\sqrt {1-z^{2}}}}$ possède trois singularités dont une seule est d'indice non nul par rapport au contour (l'origine un pôle simple d'indice +1)) (edit : donc c'est bien une singularité isolée et on peut appliquer le thm des résidus) parce que j'ai eu l'impression qu'on s'éloignait un chouia de l'article. Thibaut Liénart (d) 30 juin 2009 à 19:17 (CEST)

On voit bien que Dieudonné prend des précautions de langage ("nouvelle espèce de point singulier"). En tout cas, points de branchement et points singuliers (sous-entendu : isolés) ne sont pas du tout de même nature. L'article "Singularité en analyse complexe" ne parle (conformément à la terminologie "usuelle", c'est-à-dire celle qu'on trouve à peu près partout) que des points singuliers isolés, dont j'ai rappelé la définition (avec références, puisqu'il faut enfoncer des portes ouvertes). Pour la clarté du langage, je propose, même si tu tiens à parler de 3 singularités, qu'il soit dit qu'il y a deux points de branchement et un point singulier isolé. Il faudrait aussi dire clairement quelle est la détermination utilisée pour la fonction f. Vivarés (d) 30 juin 2009 à 19:54 (CEST)

La détermination de la fonction est visiblement celle qui relie -1 à 1 en passant par le point à l'infini, c'est-à-dire celle qui consiste à prendre pour domaine d'uniformité C-(]-infty;-1[U]1,+infty[).D'autre part je ne vois aucun précautions de langage, la notion de point de branchement n'étant pas simple. De plus, il n'y a pas, manifestement, de terminologie usuelle qui consiste à éliminer les points de branchement des points singuliers. Je peux en fournir beaucoup d'autres en sens contraire. Enfin, le fait de considérer les points de branchement comme singuliers est conforme au principe selon lequel un point a est régulier s'il existe un disque ouvert de centre a et de rayon non nul où la série de Taylor est convergente.S'il n'existe pas de telle série en un point a, le point a est singulier. Il y a alors trois possibilités: nécessité d'un développement avec des termes de rangs enteirs négatifs en nombre fini, en nombre infini ou bien des termes de rang non entiers ou des termes logarithmiques. Cela permet aussi d'avoir le théorème suivant "une fonction analytique complexe admet au moins un point singulier sur son cercle de convergence.Claudeh5 (d) 30 juin 2009 à 20:54 (CEST)

Gros problèmes au niveau de l'exemple avec le logarithme complexe.

Je pense qu'il faut revoir sérieusement la section "Exemple avec le logarithme complexe" dans la partie "Application au calcul d'intégrales réelles". J'ai constaté et corrigé une première erreur, c'est que l'intégrale de 0 à plus l'infini de (x^a)/(1+x²) pour a=0 est égal à la limite de l'arc tangente en + l'infini, c'est à dire pi/2 et non pi. Ensuite, on peut lire vers la fin de la démonstration $I=\pi {\cos(a\pi /2)-\cos(3a\pi /2) \over 1-\cos(a\pi /2)}=\pi {\sin(a\pi /2)+\sin(3a\pi /2) \over \sin(a\pi /2)}$. Cela paraît très curieux étant donné que si l'on trace les graphes de chaque fonction correspondant respectivement à la première et à la seconde expression (en remplaçant la variable "a" par x) sur un logiciel de géométrie dynamique, les graphes ne sont pas du tout superposés sur R, et encore moins sur ]0;1[... L'égalité est donc fausse. De plus, si on appelle g la fonction qui à x associe l'expression de gauche (la première avec les cosinus, toujours en remplaçant la variable "a" par x), h celle qui associe à x l'expression de droite avec les sinus, et f la fonction qui à "a" associe l'intégrale de 0 à +l'infini de (x^a)/(1+x²), on obtient des valeurs différentes par calcul formel. Par exemple, g(1/3)= 2*pi*sqrt(3)+3*pi, mais f(1/3)= (pi*sqrt(3))/3 et h(1/3)= pi+2...

Il y a donc à mon sens de gros problèmes dans cette section. On le voit très bien sur les résultats finaux. Après, je ne saurais pas dire où sont les erreurs intermédiaires (je ne suis qu'en Terminale S donc ce n'est pas vraiment de mon niveau...)

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Orodoth (discuter), le 18 décembre 2014 à 19:56.

Fait, bravo et merci. Anne 19/12/14 14h40

Multifonction = fonction ?

Il y a quelque temps, il me semble que j'avais modifié l'introduction de cet article de manière a enlever la phrase «improprement appelée fonction car non fonctionnelle» ou quelque chose de similaire. Je vois que cette phrase a été à nouveau ajoutée et je me demande pourquoi. Maintenant l'introduction contient une contradiction, puisque d'une part il y est dit «improprement appelée fonction car non fonctionnelle» et plus loin «On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique». Le lecteur doit être un peu perdu. Pour moi, c'est la première phrase qu'il faut enlever. JChG (discuter) 8 septembre 2015 à 21:13 (CEST)

En fait l'article ne parle pas de la même chose dans les deux cas. Si à un élément de E sont associés plusieurs éléments de F on a affaire à une relation binaire quelconque, pas à une fonction au sens généralement admis en mathématiques ; mais si à cet élément de E est associé l'ensemble de ces éléments (qui est un sous-ensemble de F), on a bien affaire à une fonction (mais de E dans P(F) et pas de E dans F). Michel421 (d) 27 septembre 2015 à 17:58 (CEST)

Bof, bof. J'ai beau chercher, mais je ne vois pas de différence entre plusieurs éléments de F et une partie de F. Ni entre une relation binaire et une multifonction. JChG (discuter) 27 septembre 2015 à 19:40 (CEST)

Alors modifiez l'article selon vos vues. Michel421 (d) 28 septembre 2015 à 00:32 (CEST)

Application univoque et correspondance univoque

Bonjour. Je pense que l'expression « application univoque » utilisé dans l'introduction induit une confusion avec le terme application utilisé en mathématiques. Il faudrait indiquer une source qui montre que cette expression (« application univoque ») est bien utilisée en mathématiques. Je pense que le terme de correspondance univoque est plus indiqué. En tout cas le terme « univoque » a besoin d'une source qui montre son usage. Cordialement.-- Cbigorgne (discuter) 11 septembre 2015 à 15:29 (CEST)

Il me semble que c'est un détail conduisant à des débats sans fin (autant d'avis différents que de personnes) et n'avançant à rien. Cependant, comme le vocable fonction multivoque (plus haut) ne semblait pas vous gêner, j'ai mis fonction univoque. Ça vous va? JChG (discuter) 11 septembre 2015 à 16:16 (CEST)

Fonction multivoque évoqué une seule fois me pose moins de problèmes. J'apprécie que dans l'article on utilise de manière cohérente dans tous les paragraphes essentiellement un seul terme : « Multifonction ». Peut-être faudrait-il penser à renommer l'article, mais garder le titre actuel fonction multivaluée ne me gêne pas. Cordialement-- Cbigorgne (discuter) 11 septembre 2015 à 17:58 (CEST)